[quirischa]

У понятия фрактал существует несколько определений, самое простое из которых следующее: фракталом называется фигура, обладающая некоторой степенью самоподобия. За более чем 30 лет своего существования это понятие проникло во многие области человеческой деятельности. Однако, помимо практической ценности фракталы используются художниками для создания необычных картин. Лента.Ру представляет вниманию читателей фрактальную галерею.

27 картинок, 3.6 MB

Трехмерная вариация на тему классического множества Мандельброта


Часть множества Мандельброта вблизи


"Пещера секретов"


"Брокколи"


"Замерзший ад"


"Мороженное с Нептуна"


Лампочка Мандельброта


Лампочка Мандельброта степени 8


Лампочка Мандельброта степени 16


Гладкая лампочка Мандельброта


Лампочка Мандельброта дробной степени


Синусоидальная лампочка Мандельброта


Трехмерное множество Жулиа


"Додекаэдральная машинерия"


"Октаэдральная загадка"


Фрактальная картина, где самоповторяющимся элементом является статуя Афины


"Одиночество"


"Лабиринт"


"Мир хаоса"


"Память"


"Фрактальный горн"


"Закатный замок"


"Планета Серпинского"


"Узел Жулиа"


"Локсодромичный мир"


Вариации на тему двумерного множества Жулиа


Фрактальное пламя

http://www.lenta.ru/photo/2009/12/07/fractal/

@темы: Физики смотрят

Comments

[Шнайзель]

Божественно.

[tomboyred]

подтверждаю.

[Сероглазый ветер]

"Одиночество" затянуло в себя и не отпустило

[el-elk]

Я прошу прощения, рисунки прекрасны, но понятие "фрактал" имеет строгое мат. определение, данное, если не ошибаюсь, Мандельбротом.
Фрактал - это множество с нецелочисленной размерностью.
Это все.

[Шнайзель]

el-elk, это как бы понятно. Но для людей не знакомых с математикой это пустой набор звуков, который ни о чем не говорит.

Ну и раз уж вы взялись давать строгие определения, то можете дать мне определение нецелочисленной размерности?

[el-elk]

Шнайзель, если читателю эти слова - пустой набор звуков, то имеет смысл начинать объяснять понятия меры и хаусдорфовой меры?

[Шнайзель]

el-elk
хаусдорфовой меры?

Ох... даже так, оказывается. Ну тогда, пожалуй, вы правы. Пойду Вики почитаю

[quirischa]

el-elk
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». ru-wiki
Собственно, сам Мандельброт называет фрактал: "a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole".en-wiki

[ymik]

большая часть картинок спизжена лентой отсюда: www.skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.htm...

Ну и ролики источника они не привели:

[el-elk]

quirischa, нет, как раз Мандельброт первый и дал определение через меру Хаусдорфа. Если очень нужна ссылка, я найду, но это не Википедия, я читала его книги.
А как по-Вашему, возможны эти картинки, если не определить функции, по которым их надо строить? )))
А как только начнете определять, математика вылезет во всей своей красе )))

Но я пижонка, конечно... хотя могу списать на вечер, усталость и время +3 к Москве )))

Попробую на пальцах.
Мера вообще - это, грубо говоря, то, по чему берется интеграл.
Интеграл - это мм... общий размер объекта.
Вот у 1-мерного объекта (прямая) интеграл можно взять по одномерной же мере. (Как определяется длина отрезка? Это интеграл от а до б по мере dx)
У площади (а это двумерная конструкция) мера двумерна и представляет собой кусочек площади, т.е. нечто ДВУМЕРНОЕ ds.
И т.д. до любого многомерного случая.

Хаусдорф придумал как определить размерность любого множества. Ну, вот если я вам не скажу, что мы имеем дело с плоскостью, а скажу, что есть множество элементов, как определить, как на нем строить понятие "интеграл" и "мера"?
Так вот Хаусдорф придумал как. Это цепь шагов, фактически, соединяющая точки множества и выясняющая его математические свойства. Я не буду углубляться в математику, с вашего общего позволения, там действительно очень сложные понятия.

Мандельброт был в этом смысле немножко дилетантом, в том смысле, что он никогда не был специалистом в этих областях, но он заинтересовался объектами, о которых сказал то, что привел уважаемый quirischa: "Фрактал - это структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Но это ничего нам не дает.
Как строить фрактал? Чем они отличаются? Как определить, что один фрактал похож на другой, а другой нет? Ну, и т.п.
Кстати, я замечу, что это определение было дано в ПЕРВОЙ научной работе по фракталам, т.е. оно было "сырым" и зеленым.

Теперь я попробую объяснить, как выглядит процедура определения размерности пространства по Хаусдорфу для ломаной линии или кривой какой-нибудь.
Вы задумайтесь. Каждый отрезок - одномерен. Но ведь это не прямая. Какова размерность ломаной? Два тоже не подойдет - это будет плоскость.
Напрашивается, что для ломаной правильно ввести размерность, которая будет МЕЖДУ 1 и 2. Т.е. НЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ.

Берем некую ломаную. Покрываем ее квадратиками или кружочками - неважно. Причем так, что каждая точка ломаной принадлежит одному из кружочков. И из кружочков берем только те, где есть хоть одна точка. Пусть диаметр кружочка d.
Теперь устремим d ... ну, правильно, к нулю. И построим сумму, подобную интегралу, по всем кругам. Она будет равна этому d^p (в степени р, р - произвольный параметр, принадлежащий полю действительных чисел). Окажется, что есть зависимость, чему равен этот предел, от параметра р. Для малых он будет стремиться к бесконечности, для больших - к нулю. Но самое интересное, что существует значение, при котором происходит скачок от 0 к бесконечности. Вот оно и будет называться размерность по Хаусдорфу или фрактальной размерностью.
Размерность отрезка или квадрата по Хаусдорфу равны, соответственно, 1 и 2, тут все в порядке. И вообще для "обычных" множеств, размерность будет совпадать с "обычной".

Теперь возьмем отрезок, разделим на три части. Центральную отбросим.
Повторим операцию с каждой из оставщихся. Именно так строится фрактал.
На n-м шаге мы получим 2n отрезков длиной 1/3n. Устремим n в бесконечность.
Получили мы очень интересное множество. Между любыми из его элементов есть "пустота", т.е. точки, не принадлежащие множеству. Такое множество называется Канторовым и интересно тем, что "нормальная" топологическая размерность его будет НУЛЕВОЙ.
А Хаусдорфова нет. Если ее посчитать, то выйдет, что она равна отношению натуральных логарифмов ln2/ln3.
Это дает нам размерность, равную 0.63. Удивительно? Но факт.

Это простейший фрактал.
Развитие теории показало, что фрактальная структура часто встречается в природе, начиная от экономики и заканчивая строением Вселенной. Размерности фракталов тоже бывают самые разные, но это совсем другая история.

Прошу прощения, что сразу не ответила на вопрос про нецелочисленную размерность, я в конце дня действительно бываю злая и уставшая, и не до того )

[Шнайзель]

el-elk, спасибо большое! Но для наглядности всё-равно надо будет ещё что-нибудь почитать)))

[el-elk]

Шнайзель, конечно!

[Северный Шторм]

Премного благд)) Все потырено и будет установлено на рабстол))

[Исстинна]

красотааааааааа

Эх... Была у нас дома книжка.. Большааая такая.Красочная. Папина. Я её в детстве любила рассматривать. называлась ФРАКТАЛЫ. О как я ими любовалась!
Но, Папа её кому-то дал и её не вернули

так вот что было на электронной картине на стене в хате Найта Ирона...
*загипнотизировался*